فضای هیلبرت چیست؟
رونویسیشده توسط TurboScribe.ai. برای حذف این پیام، نسخه نامحدود تهیه کنید.
فضاهای هیلبرت. اگر دقیق نمیدانید چه هستند، در جمع خوبی قرار دارید. طبق افسانهای مشهور، ریاضیدان بزرگ دیوید هیلبرت (David Hilbert) روزی وارد یک سالن سخنرانی شد.
سخنران آن روز غول دیگر ریاضیات، جان فون نویمان (John von Neumann) بود. موضوع سخنرانی؟ فضاهای هیلبرت. در پایان سخنرانی، هیلبرتِ سردرگم دستش را بالا برد تا فقط یک سؤال بپرسد:
«فضای هیلبرت چیست؟»
این روایت، حتی اگر افسانه باشد، اهمیت نقش این دو ریاضیدان را در شکلگیری نظریه فضاهای هیلبرت نشان میدهد: هیلبرت بنیان نظری را بنا نهاد و فون نویمان تعریف کامل و مدرن آن را صورتبندی کرد.
فضاهای هیلبرت بهسرعت در حوزههایی مانند مکانیک کوانتومی، فیزیک انتقال حرارت و مدلسازی امواج صوتی کاربرد پیدا کردند. با وجود ظاهر انتزاعی، آنها تعمیمی طبیعی از هندسه اقلیدسی دبیرستان هستند.
1. شهود هندسی: از صفحه دوبعدی تا بعد نامتناهی
در صفحه دوبعدی، یک بردار را میتوان به صورت
\[v = (x,y)\]نوشت.
ضرب داخلی استاندارد:
\[\langle u , v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2\]و نرم القایی:
\[\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}\]اگر دو بردار $e_1, e_2$ داشته باشیم به طوری که:
\[\langle e_i , e_j \rangle = \delta_{ij}\]آنگاه یک پایه متعامد نرمال (Orthonormal Basis) داریم.
این ساختار بدون تغییر مفهومی به $\mathbb{R}^n$ تعمیم مییابد:
\[\langle x,y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k y_k\]2. فضای برداری
یک مجموعه $V$ روی میدان $\mathbb{F}$ (معمولاً $\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$) فضای برداری است اگر:
- جمع بسته باشد
- ضرب اسکالر بسته باشد
- قوانین جبر خطی برقرار باشند
نمونهها:
- مجموعه بردارهای سطری
- مجموعه بردارهای ستونی
- مجموعه ماتریسهای $n \times n$
- مجموعه توابع
3. ضرب داخلی
یک فضای ضرب داخلی زوج $(V, \langle \cdot,\cdot\rangle)$ است به طوری که:
برای هر $u,v,w \in V$ و $a,b \in \mathbb{F}$:
-
خطی بودن: \(\langle au+bv , w\rangle = a\langle u,w\rangle + b\langle v,w\rangle\)
-
تقارن مزدوج: \(\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle}\)
-
مثبت معین بودن: \(\langle v,v\rangle \ge 0\)
و
\[\langle v,v\rangle = 0 \iff v=0\]4. دنباله کوشی و کامل بودن
با استفاده از نرم:
\[\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}\]میتوان فاصله تعریف کرد:
\[d(u,v)=\|u-v\|\]دنباله $(x_n)$ کوشی است اگر:
\[\forall \varepsilon>0 \ \exists N : m,n\ge N \Rightarrow \|x_n-x_m\|<\varepsilon\]فضا کامل است اگر هر دنباله کوشی در آن همگرا شود.
5. تعریف رسمی فضای هیلبرت
یک فضای هیلبرت، فضای ضرب داخلی کامل است:
\[\boxed{ H = \text{Complete Inner Product Space} }\]6. مثال کلاسیک: چندجملهایها و مسئله کامل بودن
فضای چندجملهایها:
\[p(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k\]یک فضای برداری است.
اما اگر:
\[\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}\]را در نظر بگیریم، در حد به:
\[\sin x\]میرسیم که دیگر چندجملهای نیست.
بنابراین فضای چندجملهایها کامل نیست.
مشابه آن:
اعداد گویا $\mathbb{Q}$ کامل نیستند زیرا دنبالهای از گویاها میتواند به $\pi$ همگرا شود.
تکمیل $\mathbb{Q}$ برابر $\mathbb{R}$ است.
7. مثال مهم: فضای $\ell^2$
\[\ell^2 = \left\{ (x_1,x_2,\dots) \mid \sum_{k=1}^\infty |x_k|^2 < \infty \right\}\]ضرب داخلی:
\[\langle x,y\rangle = \sum_{k=1}^\infty x_k \overline{y_k}\]به کمک نامساوی کوشی–شوارتز:
\[|\langle x,y\rangle| \le \|x\| \|y\|\]این فضا کامل است ⇒ یک فضای هیلبرت.
8. فضای $L^2(0,2\pi)$
\[L^2(0,2\pi)= \left\{ f \mid \int_0^{2\pi} |f(x)|^2 dx < \infty \right\}\]ضرب داخلی:
\[\langle f,g\rangle= \int_0^{2\pi} f(x)\overline{g(x)} dx\]اگر انتگرال از نوع لبگ باشد، فضا کامل است.
9. پایه متعامد نرمال و سری فوریه
توابع:
\[\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}} \right\}\]یک پایه متعامد نرمال برای $L^2(0,2\pi)$ تشکیل میدهند.
هر تابع:
\[f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}\]که ضرایب:
\[c_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x)e^{-inx} dx\]10. مکانیک کوانتومی
در صورتبندی مدرن:
-
حالت سیستم: \(\psi \in L^2(\mathbb{R})\)
-
شرط نرمالسازی: \(\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1\)
-
کمیتهای فیزیکی = عملگرهای خطی خودالحاق روی فضای هیلبرت
جمعبندی ساختاری
یک فضای هیلبرت دارای سه مؤلفه بنیادی است:
- فضای برداری
- ضرب داخلی
- کامل بودن
این ساختار امکان تعریف:
- طول
- زاویه
- فاصله
- همگرایی
- بسط فوریه
- نظریه عملگرها
- فرمولبندی ریاضی مکانیک کوانتومی
را فراهم میکند.
نتیجه نهایی:
فضای هیلبرت تعمیم دقیق هندسه اقلیدسی به بعد نامتناهی است، به شرط وجود ضرب داخلی و کامل بودن نسبت به نرم القایی.
https://www.youtube.com/watch?v=FFPXm-tuOt8
فضای هیلبرت چیست؟ رونویسیشده توسط TurboScribe.ai. برای حذف این پیام، نسخه نامحدود تهیه کنید.
فضاهای هیلبرت. اگر دقیق نمیدانید چه هستند، در جمع خوبی قرار دارید. طبق افسانهای مشهور، ریاضیدان بزرگ David Hilbert روزی وارد یک سالن سخنرانی شد.
سخنران آن روز غول دیگر ریاضیات، John von Neumann بود. موضوع سخنرانی؟ فضاهای هیلبرت. در پایان سخنرانی، هیلبرتِ سردرگم دستش را بالا برد تا فقط یک سؤال بپرسد:
«فضای هیلبرت چیست؟»
من این داستان را دوست دارم. مثل این است که فیثاغورس درباره قضیه فیثاغورس سؤال بپرسد. هرچند این روایت احتمالاً صرفاً یک افسانه است، اما بهخوبی نقش مهمی را که هر دوی این شخصیتها در شکلگیری مفهوم فضای هیلبرت داشتند نشان میدهد: هیلبرت بخش عمدهی بنیان نظری را بنا نهاد و فون نویمان با ارائه نخستین تعریف کامل، آن را تکمیل کرد.
این فضاها بهسرعت در حوزههایی مانند مکانیک کوانتومی، فیزیک انتقال حرارت، و حتی مدلسازی امواج صوتی کاربرد پیدا کردند. صادقانه بگویم، وقتی برای اولین بار با فضاهای هیلبرت روبهرو شدم، کمی ترسناک به نظر میرسیدند؛ اما خواهید دید که آنها در واقع تعمیمی طبیعی از فضاهایی هستند که در هندسه دبیرستان با آنها آشنا میشویم.
با یک بردار ساده شروع میکنیم: پیکانی در صفحه دوبعدی.
با انتخاب یک دستگاه مختصات مشخص، میتوانیم مکان این بردار را تنها با دو عدد تعیین کنیم: چند گام در جهت (x) و چند گام در جهت (y). هرچند این دستگاه مختصات رایجترین انتخاب است، هیچ چیز ما را از استفاده از دستگاهی دیگر بازنمیدارد.
میتوانیم به همان سادگی، هر دو بردار دیگر را بهعنوان دستگاه مختصات انتخاب کنیم، به شرط آنکه بین آنها زاویه ۹۰ درجه برقرار باشد. در زبان جبر خطی، میگوییم این دو بردار بر هم عمود (متعامد) هستند و چون هر بردار دیگری در صفحه را میتوان بهصورت ترکیبی از این دو نوشت، آنها یک پایه متعامد تشکیل میدهند. اگر این بردارهای پایه هر دو طول ۱ نیز داشته باشند، آنگاه یک پایه متعامدِ نُرمال (orthonormal basis) خواهیم داشت.
کاری دیگری که میتوانیم با بردارها در صفحه دوبعدی انجام دهیم، تعریف ضرب داخلی (یا ضرب نقطهای) است؛ یعنی مؤلفههای متناظر دو بردار را در هم ضرب کرده و سپس جمع میکنیم.
همین کار را دقیقاً در سه بعد نیز میتوان انجام داد، با در نظر گرفتن یک مؤلفه اضافی. معمولاً این مؤلفهها (x)، (y) و (z) هستند، اما باز هم میتوان هر سه بردار متعامد دیگری را بهعنوان پایه انتخاب کرد.
در واقع، نهتنها این مفاهیم بهطور طبیعی به بعد سه تعمیم مییابند، بلکه بهراحتی در هر بعد متناهی نیز قابل اعمالاند. فضای هیلبرت در حقیقت تعمیم همین مفاهیم به تعداد بینهایت بعد است. و بهجای بردارهای معمولی که پیکانهایی در فضا هستند، بردارهای یک فضای هیلبرت میتوانند بردارهای انتزاعی ریاضی نیز باشند.
یعنی عناصری که در یک فضای برداری زندگی میکنند؛ فضایی که مجموعهای خوشتعریف از اشیاست و قواعد مشخصی را ارضا میکند. مهمترین این قواعد آن است که بتوان بردارها را در یک عدد ضرب کرد و آنها را با هم جمع نمود، بدون آنکه از فضا خارج شویم. مثلاً مجموعه تمام بردارهای سطری یک فضای برداری است، همانطور که مجموعه تمام بردارهای ستونی نیز چنین است.
جالبتر اینکه مجموعه تمام ماتریسهای (n \times n)، و حتی مجموعه تمام توابع، نیز یک فضای برداری تشکیل میدهند.
پیش از آنکه جلوتر برویم و مفاهیم انتزاعیتر شوند، تأکید میکنم که همیشه باید حالت دوبعدیِ پیکانها در فضا را در ذهن داشته باشید. این تصویر شهودی شماست. بقیه مفاهیم صرفاً راهی برای صورتبندی همان رفتار آشنا در چارچوبی کلیتر و انتزاعیتر هستند.
در اصل، فضای هیلبرت یک فضای برداری با دو ویژگی اضافی است. نخستین ویژگی «کامل بودن» است.
برای فهم این مفهوم، در نظر گرفتن توابع چندجملهای بسیار مفید است؛ یعنی هر تابعی که بتوان آن را به صورت مجموعی متناهی از توانهای (x) نوشت. فضای تمام چنین توابعی خود یک فضای برداری است، و پایهای طبیعی برای آن مجموعه تمام توانهای (x) است. بنابراین هر تابع در این فضا را میتوان بهصورت ترکیبی خطی از این توانها نوشت.
حال یک ترکیب خطی خاص را در نظر بگیرید. با افزودن جملات بیشتر، تابع به شکلی آشناتر نزدیک میشود. در حد بینهایت جمله، این مجموع به سری تیلور تابع (\sin x) میل میکند. با ترکیب خطی دیگری به (\cos x) میرسیم، و با ترکیبی دیگر به تابع نمایی.
اما نکته اینجاست: هیچکدام از اینها در واقع چندجملهای نیستند. هر چندجملهای تنها تعداد متناهی توان دارد. ممکن است تعدادشان بسیار زیاد باشد، اما باید جایی قطع شوند. با فرستادن (n) به بینهایت، در هر سه مورد به چیزی خارج از فضای برداری اولیه رسیدهایم.
چگونه چنین شد؟ ما فقط چندجملهایها را با هم ترکیب کردیم، اما ناگهان تابعی از نوعی دیگر ظاهر شد.
پدیدهای مشابه در موقعیتی آشناتر رخ میدهد. دنبالهای از اعداد گویا را در نظر بگیرید. هر عدد در دنباله گویاست، اما در حد بینهایت، دنباله به عدد (\pi) میل میکند که گنگ است.
این پدیده در بخشهای مختلف ریاضیات رخ میدهد، و ریاضیدانان راهی برای مواجهه با آن یافتهاند: باید فهمید فضایی که در آن کار میکنیم در واقع بخشی از فضایی بزرگتر است که آن را «کامل» میکند.
در مثال بالا، اعداد حقیقی تکمیل اعداد گویا هستند. در مورد چندجملهایها، تکمیل آنها فضای تمام توابع پیوسته است.
اصطلاح فنی برای چنین دنبالههایی «دنبالههای کوشی» است. اگر دنبالهای کوشی وجود داشته باشد که به چیزی خارج از فضا همگرا شود، آن فضا ناقص است. اما اگر فضا را گسترش دهید تا این حدود را نیز شامل شود، بهطوریکه هر دنباله کوشی حدی در داخل فضا داشته باشد، آنگاه فضایی کامل خواهید داشت.
پس فضای هیلبرت یک فضای برداری کامل است.
این ما را به ویژگی دوم میرساند: وجود ضرب داخلی.
یک فضای برداری معمولی فقط امکان جمع و ضرب عددی بردارها را فراهم میکند، اما مفهومی از فاصله یا زاویه بین بردارها ندارد. این مسئله مهم است، زیرا برای تعریف دنبالههای کوشی و بررسی همگرایی، نیاز به مفهوم فاصله داریم.
برای اندازهگیری طولها و زاویهها، باید ساختار بیشتری اضافه کنیم: ضرب داخلی. ضرب داخلی تابعی است که برای هر بردار (u)، (v)، (w) و اعداد (a)، (b) (برای مقیاسدهی) شرایط مشخصی را ارضا میکند. در اصل، این تعمیمی از ضرب نقطهای است؛ راهی برای تعریف طول بردارها و زاویه بین آنها در یک فضای برداری کلی.
در صفحه دوبعدی یا فضای سهبعدی آشنا، ضرب نقطهای همان ضرب داخلی است.
پس فضای هیلبرت فضایی برداری است که هم کامل است و هم دارای ضرب داخلی. یا بهطور خلاصه: یک فضای ضرب داخلیِ کامل.
مثالهایی از فضای هیلبرت چیست؟
یک مثال، تعمیم مستقیم فضای اقلیدسی به بعد بینهایت است: مجموعه تمام دنبالههایی که مجموع نامتناهی مربعاتشان همگرا باشد. ضرب داخلی بین دو بردار، همان ضرب نقطهای با بینهایت جمله است. نامساویهای عمومی در فضاهای ضرب داخلی تضمین میکنند که این ضرب داخلی همگراست.
مثال مهم دیگر، مجموعه تمام توابع تعریفشده روی بازه (0) تا (2\pi) است که انتگرال مربعشان متناهی باشد. این شرط تضمین میکند که ضرب داخلی تعریفشده از طریق انتگرال حاصلضرب دو تابع، برای هر دو عنصر فضا معنا داشته باشد.
اگر روی توابع سینوس و کسینوس تمرکز کنیم، ضرب داخلی هر دو تابع متفاوت صفر است؛ یعنی همگی بر هم متعامدند. شگفتانگیز اینکه آنها یک پایه متعامد نرمال برای کل فضا تشکیل میدهند. بنابراین مانند یک دستگاه مختصات عمل میکنند و هر تابع در این فضا را میتوان بهصورت ترکیبی خطی از آنها نوشت؛ که مستقیماً به تقریب فوریه منجر میشود.
نمونهای بسیار مهم دیگر، تابع موج شرودینگر در مکانیک کوانتومی است. تابع موج وضعیت یک سیستم فیزیکی را توصیف میکند و در فضای هیلبرتی مرتبط تعریف میشود که این بار روی کل اعداد حقیقی بنا شده است.
جالب اینکه اگر انتگرال مورد استفاده، همان انتگرال رایج ریمان باشد که بیشتر ما با آن آشناییم، دنبالههایی وجود خواهند داشت که به چیزی خارج از فضا همگرا شوند. برای آنکه این فضا کامل باشد و واقعاً یک فضای هیلبرت تشکیل دهد، باید از انتگرال عمومیتر لباگ استفاده شود.